Ekvationer och minne

[David Löfqvist]

Den som läst mer avancerad matematik och fysik vet att det finns utrymme för minne även när det kommer till ekvationer. För att vara konkret så är integraler och integral transformer ofta något man bara måste nöta in. Med tanke på att vi är en så mångfacetterad grupp som redan gett väldigt bra råd kring kemi så tänkte jag att vi kunde ha en tråd kring detta med. Låt oss anta att man redan förstått koncepten och hur det ska användas och att det är själva formlerna som man vanligtvis har i formelsamlingen som är dilemmat att minnas. När jag gick universitetet så förväntades vi kunna både integralformler och lösningsmetoder för olika klasser av differential ekvationer till exempel. Det mesta av den matematiken var väldigt algoritmisk så länge man bara kunde minnas formlerna. För den som vill ha exempel på “lägre” matematik där detta kan vara användbart så är det de trigonometriska formlerna man förväntas lära sig i gymnasiematten.

[David Löfqvist]

Jag är ett stort fan av uttrycket “ingen formel skapas ur ett vakuum”, så utöver att koda om ekvationerna/transformerna till bilder så lägger jag ut(i den mån det går) nyckel ekvationer i min mentala tidslinje. På det viset så blir formlerna och ämnet rikare. Detta komplementeras såklart med att jag läst en hel del om matematikens historia.

[David Löfqvist]

Jag har sett två “minnesmästare” visa hur man memorerar formler. Problemet med de strategier de föreslår sina bok är att att de inte är (enkelt) expanderbara till abstraktare matematik. Fram till första året på universitetet så finns det ofta relativt enkla visualiseringar man kan koppla till formlerna man lär sig. Derivata(förändringshastighet) kan visualiseras av en bil med en viss hastighet som accelererar. Men saker som Gruppaxiomen inom abstrakt algebra är en lista på egenskaper som ett abstrakt matematiskt objekt har. Om det matematiska objektet har alla de egenskaperna så är det en grupp(gruppen av heltal under addition är en matematisk grupp). Detaljerna är inte viktiga här, utan mer observationen att varje nytt ämne inom abstraktare matematik känns som att man börjar om från början vad det gäller minnestekniker. I vissa fall ska formler memoreras då man inte får ha formelsamling på tentan, i andra fall är det abstrakta definitioner som är nog så kluriga att förstå från början.

Jag har pratat med ett antal matematik professorer om detta och de är rörande överens om två saker. För det första ska man inte memorera matte, och för det andra så är bra matematiker duktiga på att visualisera saker(något som låter som en paradox inom kontexten för denna kurs!).

Då matematik är mitt specialintresse, och jag är övertygad om Jonas påstående att man kan använda dem för att memorera allt, har jag försökt att applicera dessa tekniker på matematik för att se hur vida det är användbart(spoiler: Det är supereffektivt!), utöver visualiseringen använder jag ett lämpligt minnespalats.

Exempel 1 Formler: Trigonometri [Svårighetsgrad: Gymnasiematte] Applikationer: Grundläggande byggstenar för avancerad matematik, fysik, ingenjörskap och avancerad kemi.
Dessa formler härleds oftast algebraiskt, vilket gör dem svåra att hänga med i visuellt.
Första strategin är således att se härledningen på till exempel Khan academy, se till att man hänger med och kan följa de grundläggande exemplena.
Steg 2: När man förstår dem så anser jag att det är dags att lägga dem på minnet, innan man tragglar uppgifter. Dels för att spara på energi och dels för att inte fastna i fällan att just traggla. Vi vill studera smart trots allt.

tant har maskerat sig till “shame nunnan” från game of thrones och rider iväg på en kossa
Förhållandet mellan sinus, cosinus och tangens:
a) tan(θ) = sin(θ)/cos(θ)

b) sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1
(denna kommer från enhetscirkeln och pytagoras sats. Därför kan vi tänka oss att Pythagoras ritar en cirkel och trianglar i sanden för att göra denna härledning. Enligt en känd myt så blev han dödad av soldater när han ritade i sanden, en myt som kommer väl till pass här)

Additionsformler:
Syndiga AktieBolaget består av Kossa Bu(en spökkossa) och cosa synd
a) sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)
Kossornas AktieBolag består av coscos och har tagit avsånd från det Syndiga Aktiebolaget (Sin(A+B) = Sin(A)Sin(B) )
b) cos(A + B) = cos(A)cos(B) – sin(A)sin(B)

Dubbleringsformler:
Syndiga NaSse i Snö Syndar med kossor
a) sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)
en ko har ätit upp nasse men spyr upp en fyrkantig diskho med skarpa hörn(Sink)
b) cos(2θ) = cos^2(θ) – sin^2(θ)

Halveringsformler:
en halv diskho har eb fågelskrämma med en kvadratisk rot som håller den stående, under jorden finns en halv ko begravd
a) sin(θ/2) = ±√[(1 – cos(θ))/2]
Den andra halvan av kossan letar efter sin nergrävda hälft
b) cos(θ/2) = ±√[(1 + cos(θ))/2]

Exempel 2: Koncept

Grupp teori är matematiken bakom symmetrier! Den används till allt från att analysera Rubiks Kub till partikelfysik(och ja, även strängteori!). Därför är det av intresse att förstå konceptet grupp och inte bara memorera formler.

En grupp (G, •) är en mängd G tillsammans med en binär operator, grupp-operationen, representerad med tecknet ‘ • ‘, på G (det vill säga en funktion från G × G till G, dvs när man applicerar operationen på två element i gruppen måste resultatet också ligga i gruppen, något som ibland uttrycks som att operationen är sluten) som uppfyller följande villkor:

Associativitet. För alla a, b och c i G gäller (a • b) • c = a • (b • c).
Existens av identitet. Det finns ett element e i G, kallat identiteten i G, med egenskapen e • a = a = a • e för alla a i G.
Existens av inverser. För varje a i G finns ett element b i G, kallat inversen till a, med egenskapen a • b = e = b • a, där e är identiteten i G.

En konsekvens av dessa villkor är att identiteten i gruppen är unik. En annan konsekvens är att varje element har en unik invers.

En grupp (G, •) sägs vara kommutativ, eller vanligare abelsk, om den dessutom uppfyller följande villkor:

Kommutativitet. För alla a och b i G gäller a • b = b • a.

Vi antar att vi förstår vad detta betyder men vill lägga det i långtidsminnet. Jag tänkter mig en grupp nygifta par som ska operera sig för att det har blivit trendigt att ha en prick på magen. Alla opereras i samma slutna avdelning. Associativitet -> det spelar ingen roll i vilken ordning släktingar och bekanta hälsar på. Existens av identitet för att få vara med i gruppen som ska opereras krävs legitimation, eller ID-kort! Varje deltagare måste ha sin partner, dess invers. Om de tar bussen hem från operationen så är de kommutativa, självklart är det Abel från bibelns Cain och Abel som kör bussen!

Jag vill bara förtydliga att detta inte ersätter “vanligt pluggande” utan är bara ytterligare ett verktyg på samma sätt som en minnesramsa eller att köra nians tabell på fingrarna. Förstår du inte vad du gör så blir kunskapen värdelös, åndra sidan så är det svårt att göra något av kunskap man inte minns!

Dessa är mina tankar kring det, jag skulle jättegärna höra andras tankar. Det här med minnestekniker är ju väldigt individuellt, och ju fler perspektiv desto mer givande blir det känner jag!

[David Löfqvist]

Ett tillägg angående val av minnespalats så har jag valt att använda mig av en modifierad version av Jonas Mentala tidslinje. En gata känns lite för linjär, men ett område där gatorna sticker av känns perfekt för att lägga in matematiska avstickare

[Författare]

Inlägg